lnu.sePublikationer
Ändra sökning
RefereraExporteraLänk till posten
Permanent länk

Direktlänk
Referera
Referensformat
  • apa
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • Annat format
Fler format
Språk
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Annat språk
Fler språk
Utmatningsformat
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf
Propagation of singularities for pseudo-differential operators and generalized Schrödinger propagators
Linnéuniversitetet, Fakultetsnämnden för naturvetenskap och teknik, Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik, DFM.
2010 (Engelska)Licentiatavhandling, sammanläggning (Övrigt vetenskapligt)
Abstract [en]

In this thesis we discuss different types of regularity for distributions which appear in the theory of pseudo-differential operators and partial differential equations. Partial differential equations often appear in science and technology. For example the Schrödinger equation can be used to describe the change in time of quantum states of physical systems. Pseudo-differential operators can be used to solve partial differential equations.  They are also appropriate to use when modeling different types of problems within physics and engineering. For example, there is a natural connection between pseudo-differential operators and stationary and non-stationary filters in signal processing. Furthermore, the correspondence between symbols and operators when passing from classical mechanics to quantum mechanics essentially agrees with symbols and operators in the Weyl calculus of pseudo-differential operators.

In this thesis we concentrate on investigating how regularity properties for solutions of partial differential equations are affected under the mapping of pseudo-differential operators, and in particular of the free time-dependent Schrödinger operators.

The solution of the free time-dependent Schrödinger equation can be expressed as a pseudo-differential operator, with non-smooth symbol, acting on the initial condition. We generalize a result about non-tangential convergence, which was obtained by Sjögren and Sjölin (1989) for the free time-dependent Schrödinger equation.

Another way to describe regularity for a distribution is to use wave-front sets. They do not only describe where the singularities are, but also the directions in which these singularities appear. The first types of wave-front sets (analytical wave-front sets) were introduced by Sato (1969, 1970). Later on Hörmander introduced ``classical'' wave-front sets (with respect to smoothness) and showed results in the context of pseudo-differential operators with smooth symbols, cf. Hörmander (1985).

In this thesis we consider wave-front sets with respect to Fourier Banach function spaces. Roughly speaking, we take B as a Banach space, which is invariant under translations and embedded between the space of Schwartz functions and the space of temperated distributions. Then we say that the wave-front set of a distribution contains all points (x0, ξ0) such that no localization of the distribution at x0, belongs to FB in the direction ξ0. We prove that pseudo-differential operators with smooth symbols shrink the wave-front set and we obtain opposite embeddings by using sets of characteristic points of the operator symbols.

Abstract [sv]

I denna avhandling diskuterar vi olika typer av regularitet för distributioner som uppkommer i teorin för pseudodifferentialoperatorer och partiella differentialekvationer. Partiella differentialekvationer förekommer inom naturvetenskap och teknik. Exempelvis kan Schrödingerekvationen användas för att beskriva förändringen med tiden av kvanttillstånd i fysikaliska system. Pseudodifferentialoperatorer kan användas för att lösa partiella differential\-ekvationer. De användas också för att modellera olika typer av problem inom fysik och teknik. Det finns till exempel en naturlig koppling mellan pseudodifferentialoperatorer och stationära och icke-stationära filter i signalbehandling. Vidare gäller att relationen mellan symboler och operatorer vid övergången från klassisk mekanik till kvantmekanik i huvudsak överensstämmer med symboler och operatorer inom Weylkalkylen för pseudodifferentialoperatorer.

I den här avhandlingen koncentrerar vi oss på att undersöka hur regularitetsegenskaper för lösningar till partiella differentialekvationer påverkas under verkan av pseudodifferentialoperatorer, och speciellt för de fria tidsberoende Schrödingeroperatorerna.

Lösningen av den fria tidsberoende Schrödingerekvationen kan uttryckas som en pseudodifferentialoperator, med icke-slät symbol, verkande på begynnelsevillkoret. Vi generaliserar ett resultat om icke-tangentiell konvergens av Sjögren och Sjölin (1989) för den fria tidsberoende Schrödingerekvationen.

Ett annat sätt att beskriva regularitet hos en distribution är med hjälp av vågfrontsmängder. De beskriver inte bara var singulariteterna finns, utan också i vilka riktningar dessa singulariteter förekommer. De första typerna av vågfrontsmängder (analytiska vågfrontsmängder) introducerades av Sato (1969, 1970). Senare introducerade Hörmander ''klassiska'' vågfrontsmängder (med avseende på släthet) och visade resultat för verkan av pseudodifferentialoperatorer med släta symboler, se  Hörmander (1985).

I denna avhandling betraktar vi vågfrontsmängder med avseende på Fourier Banach funktionsrum. Detta kan ses som att vi låter B vara ett Banachrum, som är invariant under translationer och är inbäddat mellan rummet av Schwartzfunktioner och rummet av tempererade distributioner. Vågfrontsmängden av en distribution innehåller alla punkter (x0, ξ0) så att ingen lokalisering av distributionen kring x0, tillhör FB i riktningen ξ0. Vi visar att pseudodifferentialoperatorer med släta symboler krymper vågfrontsmängden och vi får motsatta inbäddningar med hjälp mängder av karakteristiska punkter till operatorernas symboler.

Ort, förlag, år, upplaga, sidor
2010. , s. 70
Nyckelord [en]
Banach spaces, Fourier, Generalized time-dependent Schrödinger equation, Micro-local, Modulation spaces, Non-tangential convergence, Pseudo-differential operators, Regularity, Wave-front sets
Nyckelord [sv]
Banachrum, Fourier, Generaliserad tidsberoende Schrödinger ekvation, Icke-tangentiell konvergens, Mikrolokal, Modulationsrum, Pseudodifferentialoperatorer, Regularitet, Vågfrontsmängder
Nationell ämneskategori
Matematisk analys
Forskningsämne
Naturvetenskap, Matematik
Identifikatorer
URN: urn:nbn:se:lnu:diva-2447OAI: oai:DiVA.org:lnu-2447DiVA, id: diva2:310992
Presentation
2010-03-26, Weber, Universitetsplatsen 1, Växjö, 13:15 (Svenska)
Opponent
Handledare
Tillgänglig från: 2010-04-20 Skapad: 2010-04-14 Senast uppdaterad: 2010-08-23Bibliografiskt granskad
Delarbeten
1. A counter example on nontangential convergence for oscillatory integrals
Öppna denna publikation i ny flik eller fönster >>A counter example on nontangential convergence for oscillatory integrals
2010 (Engelska)Ingår i: Publications de l'Institut Mathématique (Beograd), ISSN 0350-1302, E-ISSN 1820-7405, Vol. 87, nr 101, s. 129-137Artikel i tidskrift (Refereegranskat) Published
Abstract [en]

Consider the solution of the time-dependent Schrödinger equation with initial data f. It is shown by Sjögren and Sjölin (1989) that there exists f in the Sobolev space Hs(Rn), s=n/2 such that tangential convergence can not be widened to convergence regions. In this paper we show that the corresponding result holds when -Δx is replaced by an operator φ(D), with special conditions on φ.

Ort, förlag, år, upplaga, sidor
Beograd: Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts, 2010
Nyckelord
Generalized time-dependent Schrödinger equation, nontangential convergence
Nationell ämneskategori
Matematisk analys
Forskningsämne
Naturvetenskap, Matematik
Identifikatorer
urn:nbn:se:lnu:diva-2438 (URN)
Tillgänglig från: 2010-04-14 Skapad: 2010-04-13 Senast uppdaterad: 2017-12-12Bibliografiskt granskad
2. Local wave-front sets of Banach and Fréchet types, with applications to pseudo-differential operators
Öppna denna publikation i ny flik eller fönster >>Local wave-front sets of Banach and Fréchet types, with applications to pseudo-differential operators
(Engelska)Manuskript (preprint) (Övrigt vetenskapligt)
Abstract [en]

Let ω, ω0 be appropriate weight functions and B be an invariant BF-space. We introduce the wave-front set WFFB(ω)(f) with respect to weighted Fourier Banach space FB(ω). We prove the usual mapping properties for pseudo-differential operators Opt(a) with symbols a inS^{ω0}_{ρ,0} hold for such wave-front sets.

Nyckelord
Wave-front, Fourier, Banach, modulation, micro-local
Nationell ämneskategori
Matematisk analys
Forskningsämne
Naturvetenskap, Matematik
Identifikatorer
urn:nbn:se:lnu:diva-2437 (URN)
Anmärkning
Pre-print in ArXiv:0911.1867Tillgänglig från: 2010-04-14 Skapad: 2010-04-13 Senast uppdaterad: 2012-01-03Bibliografiskt granskad

Open Access i DiVA

fulltext(975 kB)1822 nedladdningar
Filinformation
Filnamn FULLTEXT01.pdfFilstorlek 975 kBChecksumma SHA-512
1d275dae32640f1d49334d785a1df6ecfd6d9ea8147998b1ece964120e97462ea3bdf820254b44f7c9c593a64e61daca102b87f22e2ff3b60a6ad0dc2f09c534
Typ fulltextMimetyp application/pdf

Person

Johansson, Karoline

Sök vidare i DiVA

Av författaren/redaktören
Johansson, Karoline
Av organisationen
Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik, DFM
Matematisk analys

Sök vidare utanför DiVA

GoogleGoogle Scholar
Totalt: 1822 nedladdningar
Antalet nedladdningar är summan av nedladdningar för alla fulltexter. Det kan inkludera t.ex tidigare versioner som nu inte längre är tillgängliga.

urn-nbn

Altmetricpoäng

urn-nbn
Totalt: 391 träffar
RefereraExporteraLänk till posten
Permanent länk

Direktlänk
Referera
Referensformat
  • apa
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • Annat format
Fler format
Språk
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Annat språk
Fler språk
Utmatningsformat
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf