Sammanfattning av presentation: Ofta behöver man som lärare en tydligare bild av elevernas visade kunskap inom ett område eller ett begrepp. Att välja många snarlika uppgifter är då inte till stor hjälp utan det gäller att samla ihop uppgifter som ger möjlighet till en kompletterande bild av kunskapen. Oftast räcker det inte att veta om eleven svarar rätt eller fel utan det gäller också att få syn på eventuella kritiska aspekter i elevens lärande. Det är också viktigt att få reda på hur eleven kommit fram till ett korrekt eller felaktigt svar. En vanlig inriktning inom matematikdidaktiskforskningen har varit att ägna mycket tid åt felanalys, d.v.s. att identifiera fel som eleverna gör vid lösning av olika uppgifter. Det finns inte så mycket forskning som har haft fokus på att studera strukturella aspekter i algebra, vilket i stället innebär att fokusera hur eleverna strukturerar sin kunskap om innehållet och på vilket sätt deras sätt att förstå innehållet skiljer sig från den vedertagna betydelsen. Dessutom tolkas begreppet struktur på olika sätt utifrån olika forskningstraditioner. Några forskningsresultat lyfter fram följande:

• studenternas oförmåga att skilja strukturella egenskaper av ekvationer
• utveckla förmågan att identifiera dolda strukturer
• visuell framträdande av algebraiska regler

 Eleverna visar att de har strukturkänsla om de kan:

• identifiera en välbekant struktur i sin enklaste form
• hantera en sammansatt term som en enda enhet
• känna igen en välbekant struktur i en mer komplex form (genom exempelvis en lämplig substitution)
• väljer lämpliga problemlösningsstrategier för att på bästa sätt använda en känd struktur I denna process valet av uppgifter har en avgörande roll för elevernas lärande. Olteanu (2015) presenterar en klassificering av uppgifter som lärare använde i klassrummet för att skapa variationsmönster i aspekterna som var kritiska för eleverna. Han identifierade följande kategorier:
• Direkt användning av procedurer
• Global förståelse
• Omvänd tänkande
• Identifiera fel eller missuppfattningar
• Informellt tänkande
• Förstå innebörden av algebraiska operationer
• Konstruktion av exempel eller motexempel
• Reflektera över och motivera flera svarsalternativ

I min presentation kommer att förklaras innebörden i varje kategorin, men fokus kommer att ligga på den tredje kategorin, nämligen omvänt eller invers tänkande. Den mest kända invers problem handlar om när kung Hieron av Syrakusa bad om Arkimedes hjälp för att mäta guldhalten i en krona. Lösningen på problemet kom till honom då han steg i sitt bad och såg hur vattnet svämmade över. Genom att mäta vattnet som runnit över när ett föremål placerades i karet kunde han mäta dess volym. Enligt traditionen sprang han därefter naken genom gatorna ropande den berömda frasen Heureka ("Jag har funnit (det)"). Vad han hade funnit var i själva verket begreppet densitet.För att utveckla elevernas strukturkänsla är det viktigt att låta eleverna rekonstruera uttryck eller ekvationer utifrån givna delar och/eller det slutliga resultatet i en övning eller för ombildningen av en operation som utförs redan men saknas i uppgiften. I föreläsningen kommer att ges exempel på sådana uppgifter samt på elevernas resonemang.