In this work we show that one can solve a finite horizon non-Markovian impulse control problem with control dependent dynamics. This dynamic satisfies certain functional Lipschitz conditions and is path dependent in such a way that the resulting trajectory becomes a flow.

This thesis treats mathematical considerations that arise in relation to certain stochastic optimal control problems, in particular of switching and impulse type. Both of these problems are extensions of the well-known optimal stopping problem. The optimal stopping problem amounts to finding the optimal stopping rule for a payoff that evolves in a random manner. In this case the control is merely a stopping time, making it one of the most primitive stochastic control problems.

The control in the above-mentioned extensions of optimal stopping takes the formof a double sequence (𝜏_𝑖, 𝜉_𝑖), where 𝜏_𝑖 are stopping times and 𝜉_𝑖 are random variables. In the case of optimal switching, we switch "mode" at each stopping time 𝜏_𝑖 according to the discrete random variable 𝜉_𝑖, while in the case of impulse control these variables take values in a compact set and represent impulses with which we hit the system, causing it to "jump". As in the case of optimal stopping, the goal is to find a control that maximizes a pre-defined performance measure. Generally speaking, breaking control problems down into smaller ones is known as the Bellman principle, which we establish to be applicable in our settings.

The problem we consider in Paper 1 is an impulse problem, where on the one hand the control enters the volatility, and on the other our underlying system is non-Markovian. Paper 2 explores a Feynman-Kac type formula for the problem in Paper1. In short, we establish the classic correspondence between conditional expectations and partial differential equations. In this case, the conditional expectation in question is the expected profit for the impulse problem. Paper 3 treats a particular non-Markovian switching problem with signed costs. Paper 3 treats a particular non-Markovian switching problem with signed costs.

Denna avhandling behandlar matematiska frågeställningar som uppstår i samband med stokastiska impuls-problem. Denna typ av problem är en generalising av det välkända optimala stopproblemet. Det optimala stopproblemet går ut på att hitta den optimala stoppregeln för en stokastisk process. I det här fallet är styrlagen en så kallad stopptid, vilket gör det till ett av de mest primitiva stokastiska styrproblemen.Styrlagarna hos impuls-problem är en dubbelföljd (𝜏_𝑖, 𝜉_𝑖), där 𝜏𝑖 är stopptider och 𝜉_𝑖 är stokastiska variabler. Vid varje stopptid görs ett val ur den givna regler mängden hur systemet ska påverkas. Precis som i det optimala stopproblemet är målet att hitta en styrlag som maximerar ett på förhand givet mått. Problem som har en struktur så att de kan delas upp i mindre delproblem sägs uppfylla Bellmans princip. Om så är fallet för våra problem är en av frågeställningarna vi behandlar. I Artikel 1 behandlas ett impulsproblem där den underliggande dynamisken dels beror på historien och dels har en volatilitet som påverkas av styrlagen. Artikel 2 presenterar en så kallad Feynman-Kac-formel för problemet i Artikel 1. Närmare bestämt att den klassiska representationen av lösningar till partiella differential ekvationer via betingade väntevärden gäller. I detta fall representerar lösningen i den förväntade vinsten för impulsproblemet. Artikel 3 behandlar ett särskilt icke markoviskt problem med diskret reglermängd och positiva "kostnader".

In this work we show that one can solve a set of multi-modes optimal switching problems with a particular, very natural form of signed costs. The problems are a special type of impulse control problems where the control set is discrete and the system is operated continuously over a finite horizon.